广义 Stieltjes 变换的有限部积分及其参数小值时的主导渐近行为 第一部分：整数阶

本文探讨了整数阶 $n=1,2, 3,\dots$ 广义 Stieltjes 变换 $S_{n}[f]=\int_0^{\infty} f(x) (\omega+x)^{-n}\mathrm{d}x$ 在 $\omega =0$ 附近的精确求值，由此直接提取 $S_{n}[f]$ 在小参数 $\omega$ 下的渐近行为。试图通过将被积函数 $(\omega+x)^{-n}$ 在 $\omega=0$ 附近展开，然后对所得无穷级数逐项进行朴素积分来求值该积分，会得到一个各项均为发散积分的无穷级数。已知通过解析延拓或 Hadamard 有限部为这些发散积分赋值，只能重现展开式的部分正确项，但完全遗漏了一组项。在此，我们利用最近在 [E.A. Galapon, {\it Proc. Roy. Soc. A} {\bf 473}, 20160567 (2017)] 中引入的有限部积分方法显式求值了广义 Stieltjes 变换。结果表明，当 $f(x)$ 在原点不为零或具有 $m$ 阶零点使得 $(n-m)\geq 1$ 时，$S_{n}[f]$ 在 $\omega\rightarrow 0$ 时的主导项来自于复值函数 $f(z) (\omega+z)^{-n}$ 的极点与支点所产生的贡献。这些主导项恰好是朴素逐项积分所遗漏的项。此外，本文还展示了如何利用特殊函数已知的 Stieltjes 积分表示，通过有限部积分导出其新的级数表示。最后，讨论了有限部积分在获取以下物理量渐近展开中的应用：高 Peclet 数极限下的有效扩散率、自扩散系数的 Green-Kubo 公式，以及弱噪声极限下扩散张量的反对称部分。