广义Stieltjes变换的有限部分积分及其在小参数时的主导渐近行为 II. 非整数阶

本文是关于广义 Stieltjes 变换 $S_{\lambda}[f]=\int_0^{\infty} f(x) (\omega+x)^{-\lambda}\mathrm{d}x$ 在 $\omega = 0$ 附近有限部分积分的第二部分，其中现在 $\lambda$ 为非整数正实数。将 $(\omega+x)^{-\lambda}$ 在 $\omega = 0$ 处作二项展开并交换积分与求和次序，会诱导出原点处具有奇点的发散积分。随后通过有限部分积分的规定，将这些发散积分解释为有限部分积分，并严格表示为复围道积分。同一围道随后被用于将被积函数 $S_{\lambda}[f]$ 本身表示为复围道积分。这导致恢复了被朴素逐项积分遗漏的项，这些项本身是发散积分的有限部分，其奇点在于积分的有限上限。当函数 $f(x)$ 在原点有 $m=0,1,\dots$ 阶零点且 $m-\lambda<0$ 时，朴素逐项积分遗漏的修正项对 $S_{\lambda}[f]$ 在 $\omega\to 0$ 时给出主导贡献。否则，修正项相对于朴素逐项积分中的前导收敛项为次主导。我们通过评估已知的 Stieltjes 积分表示，应用这些结果得到了 Kummer 和 Gauss 超几何函数的精确与渐近表示。然后我们应用有限部分积分方法得到广义 Stieltjes 积分的渐近行为，该积分与浅势阱有效折射率的计算相关。