Sobolev-Lebesgue 空间上的广义 Stieltjes 与其他积分算子

对于 $\mu>\beta>0$，在 Sobolev 空间 $\mathcal{T}_p^{(\alpha)}(t^\alpha)$（其中 $\alpha\ge 0$ 为分数阶导阶数，且这些空间在 $p\ge 1$ 时嵌入 $L^p(\RR^+)$ 中）上详细研究广义 Stieltjes 算子 $$\mathcal{S}_{\beta,\mu} f(t):={t^{\mu-\beta}}\int_0^\infty {s^{\beta-1}\over (s+t)^{\mu}}f(s)ds, \qquad t>0.$$ 若 $0 < \beta - \pp < \mu$，则算子 $\mathcal{S}_{\beta,\mu}$ 有界（我们计算了其依赖于 $p$ 的算子范数）；并在 $\mathcal{T}_p^{(\alpha)}(t^\alpha)$ 上与广义 Ces\'{a}ro 算子交换且可分解。我们显式计算并表示了它们的谱集 $\sigma (\mathcal{S}_{\beta,\mu})$。主要技巧是将这些算子从属于 $C_0$-群，并将某些特殊函数的新性质转移到 Stieltjes 算子。我们还证明了实直线 $\R$ 上定义的 Sobolev-Lebesgue 空间 $\mathcal{T}_p^{(\alpha)}(\vert t\vert^\alpha)$ 中广义 Stieltjes 算子 $\mathcal{S}_{\beta,\mu}$ 的若干类似结果。我们展示了其与 Fourier 变换、Hilbert 变换以及由 Hilbert 变换定义的卷积乘积的联系。