整函数的比与广义 Stieltjes 函数

研究了比值 $$\log \frac{f(x+a_1)\cdots f(x+a_n)}{f(x+b_1)\cdots f(x+b_n)}$$ 的单调性性质,其中 $f$ 为整函数。关于 Euler gamma 函数及其他亏格为 1 的整函数的早期结果被推广到具有负零点的亏格为 $p$ 的整函数。上述表达式的阶与 $p$ 相当的导数联系于 $p+1$ 阶广义 Stieltjes 函数。我们的结果应用于 Barnes 多重 gamma 函数。我们也展示了近期关于 Euler gamma 函数在竖直线上的行为的结果如何被 sharpened 并推广到更高亏格的函数。最后描述了与所谓 Prouhet-Tarry-Escott 问题的联系。