随机有限型子移位中的有限轨道

对于每个 $n, d \in \mathbb{N}$ 和 $0 < \alpha < 1$，我们通过以概率 $\alpha$ 独立包含每个元素并以概率 $1-\alpha$ 排除它，来定义 $\mathcal{A}^{\{1, 2, \dots, n\}^d}$ 的一个随机子集，并考虑相关的随机有限型子移位。推广 McGoff 以及 McGoff 与 Pavlov 的结果，我们证明存在 $\alpha_0 = \alpha(d, |\mathcal{A}|) > 0$，使得当 $\alpha < \alpha_0$ 且随着 $n \to \infty$ 概率趋于 $1$ 时，该随机子移位仅包含有限多个元素。在 $d = 1$ 的情形下，我们得到了此类最佳的 $\alpha_0$，即 $1/|\mathcal{A}|$。