(双)典范曲线的有限 Hilbert 稳定性

我们证明：一般的典范或双典范嵌入光滑曲线对所有 $m$ 都具有半稳定的 $m$ 次 Hilbert 点；一般的双典范嵌入光滑曲线对所有 $m \geq 3$ 都具有稳定的 $m$ 次 Hilbert 点。在典范情形，这通过证明具有 $\mathbb{G}_m$ 作用的特殊奇异曲线的有限 Hilbert 半稳定性来实现，即典范嵌入的平衡带形与典范嵌入的平衡双 $A_{2k+1}$ 曲线。在双典范情形，我们证明了特殊超椭圆曲线——即 Wiman 曲线——的有限 Hilbert 稳定性。最后，我们给出了典范嵌入光滑曲线的例子，其低阶 $m$ 次 Hilbert 点是非半稳定的，但在超过某个确定阈值后变为半稳定。（本文包含了先前的投稿和 arXiv:1110.5960）。