Borel 与 Baire 范畴设定下可数群作用的有限生成元

对于可数离散群 $G$ 在 Polish 空间 $X$ 上的连续作用，$X$ 的一个可数 Borel 划分 $P$ 被称为生成元，如果 $G \cdot P := \{ gC : g \in G, C \in P \}$ 生成 $X$ 的 Borel $\sigma$-代数。对于 $G = Z$，Kolmogorov--Sinai 定理给出了有限生成元存在性的测度论障碍：在存在具有无限熵的不变概率测度时，有限生成元不存在。Benjamin Weiss 在 80 年代后期提出过一个问题：不存在任何不变概率测度是否保证了有限生成元的存在性。我们证明了，对于任意可数群 $G$ 和 $\sigma$-紧的 $X$（特别是对于局部紧的 $X$），该问题的答案是肯定的（事实上，存在一个 32-生成元）。我们还证明了，$G$ 在任意 Polish 空间上的任意连续非周期作用在一个余贫集上允许一个 4-生成元，从而对 Alexander Kechris 在 90 年代中期提出的问题给出了肯定回答。此外，在假设 Weiss 问题对任意 Polish 空间和 $G = Z$ 有肯定回答的前提下，我们证明了以下二分法：$Z$ 在 Polish 空间 $X$ 上的任意非周期 Borel 作用要么允许一个具有无限熵的不变概率测度，要么允许一个有限生成元。作为辅助引理，我们证明了以下可能具有独立意义的陈述：可数群 $G$ 在 Polish 空间 $X$ 上的任意非周期 Borel 作用允许一个 $G$-等变 Borel 映射，映射到 $G$ 在 $2^G$ 上移位作用的非周期部分。我们还得到了若干其他相关结果，其中包括 $Z$ 的连续作用不存在非贫集弱游荡集的一个判据。由此得出对 Eigen--Hajian--Nadkarni 所提问题的否定回答，该问题也由 Benjamin Miller 独立作答。