可数群作用的Krieger有限生成子定理 I

对于可数群$G$的遍历保测度作用$G \curvearrowright (X, \mu)$，我们将Rokhlin熵$h_G^{\mathrm{Rok}}(X, \mu)$定义为可数生成划分的Shannon熵的下确界。已知对于可数群自由遍历作用，该概念与经典Kolmogorov--Sinai熵一致。因此，将Rokhlin熵视为经典熵的紧密类比是自然的。在此类比下，我们证明了Krieger有限生成子定理对所有可数无限群成立。具体地，如果$h_G^{\mathrm{Rok}}(X, \mu) < \log(k)$，则存在一个由$k$个集合组成的生成划分。