平面连续统的纤维与局部连通性

我们通过纤维和数值尺度的概念来描述非局部连通的平面连续统。给定一个连续统 $X\subset\mathbb{C}$ 和 $x\in\partial X$，我们证明边界 $\partial X$ 中无法通过任何有限集 $C\subset \partial X$ 与 $x$ 分离的点 $y$ 构成的集合是一个连续统。该连续统称为 $X$ 在 $x$ 处的{\em 修正纤维} $F_x^*$。若 $x\in X^o$，则定义 $F^*_x=\{x\}$。对于 $x\in X$，我们证明 $F_x^*=\{x\}$ 蕴含 $X$ 在 $x$ 处局部连通。同时给出一个具体的平面连续统 $X$，它在某点 $x\in X$ 处局部连通，但其纤维 $F_x^*$ 并非平凡。非局部连通性的尺度 $\ell^*(X)$ 定义为满足以下条件的最小整数 $p$（若不存在则取 $\infty$）：对每个 $x\in X$，存在 $k\le p+1$ 个子连续统 $$X=N_0\supset N_1\supset N_2\supset\cdots\supset N_{k}=\{x\}$$ 使得对 $1\le i\le k$，$N_{i}$ 是 $N_{i-1}$ 的纤维。若 $X\subset\mathbb{C}$ 是无盾连续统或补集仅有有限个连通分支的连续统，我们得到 $X$ 的局部连通性等价于 $\ell^*(X)=0$。我们讨论了这些概念与 Schleicher (1999) 和 Kiwi (2004) 工作的关系。进一步基于纤维定义了一个等价关系 $\sim$，并证明商空间 $X/\sim$ 是局部连通连续统。对于多项式的连通 Julia 集以及更一般的无盾连续统，我们得到每个素端印记都包含于某个纤维中。最后，我们将结果应用于文献中的例子，并对每个 $n\ge1$ 构造了满足 $\ell^*(X_n)=n$ 的道路连通连续统 $X_n$ 的具体例子。