论 C 中紧集的纤维与局部连通性

全纯动力学中的一个常见问题是证明 Julia 集以及 Mandelbrot 集中许多点的局部连通性；局部连通性具有许多有趣的推论。本文旨在为该问题提供一种新视角：我们引入这些集合的纤维，目标变为证明纤维是“平凡的”，即它们由单点组成。其思路是不使用特定拼图来证明“拼图块的收缩”。这蕴含了在这些点处的局部连通性，但纤维的平凡性是比局部连通性稍强的性质。全纯动力学中的局部连通性证明通常实际上可得出纤维是平凡的，这一额外信息有时是有用的。由于我们相信纤维在更多情形下可能有用，我们讨论了复平面中任意紧致连通且满集的纤维性质。这使得能够将其用于多项式的连通填充 Julia 集，并且形式为 $z^d+c$ 的多项式具有以下性质：任何有理角处的动力学射线印痕均为单点。附录回顾了平面中紧致连通且满集的已知拓扑性质。纤维的定义源于 Mandelbrot 集在每个 Misiurewicz 点以及每个双曲分量边界点处局部连通的一个新简证。该证明同样适用于“Multibrot 集”，即 Mandelbrot 集的高阶类似物。这些集合将在一个自包含的续篇（IMS Preprint 1998/13a）中讨论。最后，我们在 IMS Preprint 1998/13b 中将纤维的平凡性与 tuning 和重整化联系起来。