费尔特猜想、标准 Brauer 诱导公式与阿达姆运算

本文由费尔特猜想的一个强版本推动而来，该猜想最初由作者于 2025 年与 A. Kleshchev 和 P. H. Tiep 的合作工作中提出，涉及有限群 G 中不可约字符 $\chi$ 的导数 $c(\chi)$。我们将该猜想与以下构造相联系：对于指数 $G$ 的任意正整数 $n$ 以及任意字符 $\chi$，我们引入一个整数值不变量 $S(G,\chi,n)$，可定义为标准 Brauer 诱导公式 $\chi$ 的某些系数的和，或者可另外定义为阿达姆运算 $\chi$ 的指定整线性组合中平凡字符的乘数。我们证明了关于该不变量的两个事实。第一个在除费尔特猜想之外的独立兴趣方面也具有意义：$S(G,\chi,n)$ 永远为非负，且当且仅当 $\chi$ 的表示涉及顺序为 $n$ 的特征值时为正。其次，费尔特猜想的强版对不可约字符 $\chi$ 成立当且仅当 $S(G,\chi, c(\chi))>0$。