Gallagher 定理的逆向命题

设 $G$ 为有限群。设 $N$ 为 $G$ 的正规子群。回顾一下，Gallagher 定理指出：若 $\chi \in {\rm Irr} (G)$ 满足 $\chi_N$ 为不可约，则 $\chi \beta$ 对所有 $\beta \in {\rm Irr} (G/N)$ 均为不可约且互不相同。此外，若 $\theta = \chi_N$，则这些是 $\theta^G$ 的所有不可约因子。我们证明了该定理的逆向命题成立。我们也证明了 Brauer 版本该定理的部分逆向命题成立。最后，我们证明了 Isaacs 的 $\pi$ 部分字符的等价命题成立，且该定理的部分逆向命题也成立。