高维双曲偏微分方程五阶 WENO 格式的稀疏网格快速模拟
数值分析
2020-07-21 v1 数值分析
摘要
加权本质无振荡（WENO）格式是一类求解双曲偏微分方程（PDEs）的流行的高阶精度数值方法。然而当空间维数较高时，空间网格点数量显著增加。这导致使用非线性高阶精度 WENO 格式（如五阶 WENO 格式）进行数值模拟时产生大量运算与计算成本。如何通过高阶 WENO 方法对高空间维双曲 PDEs 实现快速模拟是一个具有挑战性且重要的问题。文献中，稀疏网格技术已被发展为高维问题的高效逼近工具。在近期工作 [Lu, Chen and Zhang, Pure and Applied Mathematics Quarterly, 14 (2018) 57-86] 中，设计了带稀疏网格组合技术的三阶有限差分 WENO 方法以求解多维双曲方程，包括线性平流方程与非线性 Burgers 方程。在应用问题中，常偏好高于三阶的 WENO 格式以有效分辨复杂解结构。本文将该方法推广到更高阶 WENO 模拟，具体为五阶 WENO 格式。在稀疏网格组合技术的延拓部分应用五阶 WENO 插值来处理间断解。首先求解基准问题以表明在稀疏网格上模拟时显著节省了 CPU 时间，同时保留了 WENO 格式的五阶精度与稳定性。然后将五阶稀疏网格 WENO 方法应用于由高维基于 Vlasov 的 PDEs 建模的动力学问题，通过与正则单网格上的模拟比较进一步展示计算成本的大幅节省。
引用
@article{arxiv.2007.10196,
title = {Fast sparse grid simulations of fifth order WENO scheme for high dimensional hyperbolic PDEs},
author = {Xiaozhi Zhu and Yong-Tao Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2007.10196},
year = {2020}
}
备注
36 pages. arXiv admin note: text overlap with arXiv:1804.00725