求解 Eikonal 方程的定点快速扫描 WENO 格式的稀疏网格实现

定点快速扫描方法是文献中发展起来的一类显式迭代方法，用于高效求解双曲偏微分方程（PDEs）的稳态解。与其他类型的快速扫描格式一样，定点快速扫描方法使用高斯-赛德尔迭代和交替扫描策略，在每次扫描顺序中同时覆盖某一方向的双曲 PDE 特征。所得迭代格式对稳态解具有快速收敛率。此外，定点快速扫描方法相对于其他类型快速扫描方法的一个优势在于它们是显式的，且不涉及任何非线性局部系统的逆运算。因此它们稳健且灵活，并已在文献中与高阶精度的加权本质无振荡（WENO）格式结合以求解各类双曲 PDE。对于多维非线性问题，高阶定点快速扫描 WENO 方法仍需要相当大的计算代价。在本技术笔记中，我们将稀疏网格技术（一种用于多维问题的有效逼近工具）应用于定点快速扫描 WENO 方法以降低其计算代价。这里我们关注一种具有三阶精度的稳健龙格-库塔（RK）型定点快速扫描 WENO 格式（Zhang 等人 2006 [33]），用于求解 Eikonal 方程——一类重要的静态 Hamilton-Jacobi（H-J）方程。通过求解多维 Eikonal 方程和更一般的静态 H-J 方程的数值实验表明，定点快速扫描 WENO 格式的稀疏网格计算在细化网格上大幅节省了 CPU 时间，同时与相应规则单网格上的精度和分辨率相当。