指数为 $3$ 的 Fano 同余与交错 $3$-形式

我们将由 $n+1$ 维中足够一般的交错 3-形式 $\omega$ 所定义的线同余 $X_\omega$ 作为指数为 $3$ 且维数为 $n-1$ 的 Fano 流形进行研究。这些同余包括 $n=6$ 时的 $\mathrm{G}_2$-簇以及 $n=7$ 时的投影 $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ 的约化簇。我们将 $X_\omega$ 的次数计算为第 $n$ 个 Fine 数，并研究了这些同余的 Hilbert 概形，证明了除 $n=5$ 外 $\omega$ 的选择与 $X_\omega$ 双射对应。连同其奇异轨迹一起，还研究了同余的基本轨迹：这些簇包括 $n=8$ 时的 Coble 三次曲面和 $n=9$ 时的 Peskine 簇。针对包含 $X_\omega$ 的一般线性同余，分析了 $X_\omega$ 的剩余同余 $Y$，分析基于包含 $X_\omega$ 线性张成的二次曲面。我们证明了 $Y$ 是 Cohen-Macaulay 的，但在余维数 $4$ 处非 Gorenstein。我们还考察了 $Y$ 的基本轨迹 $G$，并确定了其奇点和不可约分支。