表面间隙孤子族及其基于数值Evans函数方法的稳定性

具有线性周期势和非线性系数$\Gamma$间断的非线性薛定谔方程支持频率位于谱隙内的稳态局域孤立波，即所谓的表面间隙孤子（SGSs）。我们使用弧长延拓法计算了$\Gamma$跃变在一定范围内的一维SGSs族。利用渐近分析，我们证明当频率参数收敛于分岔隙边时，对于中心位于任意$x_c\in \R$的SGSs，允许的$\Gamma$跃变大小收敛于0。接着通过数值Evans函数方法确定SGSs的线性稳定性，该方法需要演化线性化谱ODE问题的零解对应的稳定与不稳定流形。Evans函数的零点与线性化算子的特征值重合。远离SGS中心处，流形由指数衰减/增长的布洛赫函数张成。流形的演化存在刚性，但通过外代数表述并使用保持格拉斯曼流形的ODE积分器，可以得到数值稳定的形式。然后利用辐角原理和一条平行于虚轴的围道检测实部大于一个小常数的正特征值。实特征值的位置通过沿实轴直接计算Evans函数找到，若干复特征值则使用Müller方法定位。文中详细描述了数值Evans函数方法。我们的结果表明存在不稳定和稳定（可能具有弱不稳定性）的SGSs，其中即使对于一些中心位于聚焦非线性较弱的一半区域内的SGSs也能获得稳定性。对选定SGS例子的PDE直接模拟证实了Evans函数计算的结果。