自由表面磁流体动力学中耦合 Orr-Sommerfeld 与感应方程的谱 Galerkin 方法

我们开发并测试了谱 Galerkin 格式，用于求解自由表面和固定边界几何构型下平行、不可压缩磁流体动力学（MHD）中的耦合 Orr-Sommerfeld (OS) 方程与感应方程。该格式的离散基由勒让德内部形状函数组成，并辅以节点形状函数以弱形式施加应力和绝缘边界条件。基多项式的正交性质解决了矩阵系数增长问题，特征值 - 特征函数对可在至少 p = 3,000 的谱阶下稳定计算，且舍入误差与 p 无关。精度限制反而源于稳定性算子在较大流体动力学和/或磁雷诺数（Re, Rm > 4E4）下的非正规性所导致的舍入敏感性。在具有 Hartmann 速度和磁场分布的问题中，我们采用合适的高斯求积规则来无误差地评估相关的指数加权半双线性形式。另一种方法涉及在 2p - 1 精度水平上通过勒让德 - 高斯 - 洛巴托（LGL）求积近似这些形式，结果发现其在舍入误差范围内给出相同的特征值。作为一致性检查，我们将非线性模拟中的模态增长率与能量增长率进行比较，记录到在 Re = 3E4 的自由表面流动中，最不稳定模态的相对差异小于 $1E-5$。此外，我们确认计算出的法向模态满足自由表面 MHD 的能量守恒定律，误差小于 1E-6。研究发现，自由表面 MHD 中的临界雷诺数对磁普朗特数 Pm 敏感，即使在液态金属的 Pm = O(1E-5) 区域也是如此。