倾斜薄液膜上 Kapitza 波的数值解

液膜在倾斜平面上的流动在自然与工业中常见，且在某些条件下自由表面会出现不稳定性。这些不稳定性最初是二维表面波，称为 Kapitza 波。表面波对许多工业应用十分重要。例如，带表面波的液膜被用于从固体表面移除热量。不稳定的初始阶段由 Orr-Sommerfeld 方程及适当边界条件支配；因此，该方程的快速精确解对工业有用。本文提出一种谱方法求解带自由表面边界条件的 Orr-Sommerfeld 方程。我们的数值方法基于第一类切比雪夫多项式的 Galerkin 方法，从而可将 Orr-Sommerfeld 方程及其边界条件表达为广义特征值问题。与谱配点等其他方法相比，本谱方法的主要优势在于其稳定性以及将边界条件纳入离散方程的便捷性。我们将数值结果与基于微扰方法（仅对长波不稳定性有效）的解析解比较，显示结果在长波假设有效区域内一致。远离该区域，我们的结果仍有效。此外，我们将结果与已发表的实验结果比较，吻合极好。该方法稳定、快速，并能求解自由表面流中的初始不稳定性。