群作用族、一般等平凡性与线性化

我们证明了一个“一般等价定理”，该定理指出，具有同构（闭）纤维的两个仿射态射$p: S \to Y$和$q: T \to Y$在支配平展基变换$\phi: U \to Y$下成为同构。一个特例如下：称态射$\phi: X \to Y$为“以$F$为纤维的纤维化”，如果$\phi$是平坦的且所有纤维（约化后）同构于$F$。那么，以$F$为纤维的仿射纤维化存在一个平展支配态射$\mu: U \to Y$，使得拉回是平凡纤维丛：$U\times_Y X \simeq U\times F$。作为应用，我们给出了以下两个（已知）结果的简短证明：(a) 正规簇上的每个仿射$\A^1$-纤维化在Zariski拓扑下是局部平凡的；(b) 光滑曲线上的每个仿射$\A^2$-纤维化在Zariski拓扑下是局部平凡的。我们还研究了由曲线参数化的$\A^2$上约化群作用族，并证明了$\AA^3$上每个非有限约化群的忠实作用都是可线性化的，即$G$-同构于$G$的一个表示。