$F$ -除数束的相对 Gieseker 问题

设 $f: X\to Y$ 为特征为正的代数闭场上定义的variety 的proper射影态射。我们证明若 $f$ 有几何连通纤维，则诱导的 $F$ -除数基本群同态保持faithfully flat。我们证明的关键新工具是 $F$ -除数束上类似 B. Bhatt 和 P. Scholze 的下降定理\cite[Theorem 1.3]{Bhatt-Scholze2017}的类比。作为推论，我们证明若 $X$ 正规、$Y$ 光滑、$X$ 和 $Y$ 均为射影且诱导的 etale 基本群同态为满射，则对应的 $F$ -除数基本群同态保持faithfully flat。我们还为同构关系建立了类似结果。这推广并加强了 X. Sun 和 L. Zhang\cite{Sun-Zhang2025}的最近结果，后者又推广了 H. Esnault 和 V. Mehta\cite{Esnault-Mehta2010}以及 I. Biswas、M. Kumar 和 A. J. Parameswaran\cite{Biswas-Parameswaran-Kumar2025}的早期结果。