奇异曲线的分歧覆盖映射与拉回丛的稳定性

设 $f : X \rightarrow Y$ 为定义在代数闭域上的不可约射影曲线之间的、一般光滑的非常值态射，且在包含 $Y$ 的奇异轨迹与 $X$ 的奇异轨迹在 $Y$ 中的像的 $Y$ 的开子集上为平展态射。我们证明以下陈述等价：\begin{enumerate} \item 由 $f$ 诱导的平展基本群同态 $$f_* : \pi_1^{\rm et}(X) \rightarrow\pi_1^{\rm et}(Y)$$ 是满射。 \item 不存在非平凡的平展覆盖 $\phi : Y' \rightarrow Y$ 容许态射 $q: X \rightarrow Y'$ 使得 $\phi\circ q = f$。 \item 纤维积 $X\times_Y X$ 是连通的。 \item $\dim H^0(X, f^*f_* {\mathcal O}_X)= 1$。 \item ${\mathcal O}_Y \subset f_*{\mathcal O}_X$ 是极大半稳定子层。 \item $Y$ 上每个稳定层 $E$ 的拉回 $f^*E$ 也是稳定的。 \end{enumerate}