二次 Misiurewicz-Thurston 多项式的因式分解

本文提供了 Misiurewicz-Thurston 多项式 $q_{\ell,n}=p_{\ell+n}(z) - p_\ell(z)$ 在 $\mathbb{C}$ 上的完全因式分解，该多项式在研究曼德博集合方面发挥核心作用，其中 $$p_0(z) = 0, \qquad p_{n+1}(z) = p_n(z)^2 + z.$$ 这些根可以分为两类。首先，存在关于 $n$ 的任何约数 $k$ 的超声点 $\operatorname{hyp}(k)$，这些是临界轨迹周期为恰好 $k$ 的参数。这些是 $q_{\ell,n}$ 具有 $\left\lfloor \frac{\ell -1}{k} \right\rfloor + 2$ 重数的根。接下来是具有恰好 $k$ 周期且具有恰好 $j$ 前期的点 $\operatorname{mis}(j,k)$（$2\leq j\leq \ell$）。这些是 $q_{\ell,n}$ 的简根。