如何分割太拉多项式

本文提出了一种新算法，用于计算两类对 Mandelbrot 集$\mathcal{M}$感兴趣的多项式的所有根：这些多项式的根分别是与$f_c(z)=z^2+c$的周期临界动力学相关的参数$c\in\mathcal{M}$（双曲中心），或与预周期动力学相关的参数（Misiurewicz-Thurston 参数）。该算法基于离散等高线的计算，为 Newton 法提供了极佳的初始点。在实践中，我们观察到这些多项式可以按度数的线性时间进行分割。本文配有一个实现该算法的代码库 [Mandel]。利用该库并在 Roméo (Reims) 高性能计算中心消耗约 723,000 核心小时，我们成功找到了所有周期$\leq 41$的双曲中心，以及所有周期与预周期之和$\leq 35$的 Misiurewicz-Thurston 参数。具体而言，这项任务涉及分割一个太拉多项式（tera-polynomial），即次数约为$10^{12}$的多项式，这比之前的最先进水平高出几个数量级。它还涉及处理我们数值结果的可认证性问题，我们在数学上和生产链中都详细解决了这一问题。认证数据库已向科学界开放。对于仅使用硬件算术（浮点数 FP80）即可表示的较小周期，我们算法的实现可以在不到一个核心天的时间内分割相应次数约为$10^9$的多项式。我们通过根分离的统计分析补充了这些基准测试，证实了这些家族中没有其他多项式可以在不使用更高精度算术的情况下被分割。