Mandelbrot 多项式根的数值计算：一项实验分析

本文研究多项式 $p_k(x)$（$k=1,2,\ldots$）根的 Numerical 计算问题，其次数为 $n=2^k-1$，递归定义为 $p_1(x)=x+1$，$p_k(x)=xp_{k-1}(x)^2+1$。给出了一种基于 Ehrlich-Aberth 同步迭代，并辅以快速多极子方法（FMM）和复数集近邻快速搜索的算法。该算法依赖一种特定的初始近似选择策略，每步耗费 $O(n\log n)$ 次算术运算。给出了 Fortran 95 实现并进行了数值实验。实验上，达到数值收敛所需迭代次数为 $O(\log n)$。这使得我们能在 16 GB RAM 的笔记本电脑上约 16 分钟内计算出次数达 $n=2^{24}-1$ 的 $p_k(x)$ 的根，在 256 GB RAM 的机器上约 69 分钟内计算出次数达 $n=2^{28}-1$ 的根。次数为 $n=2^{30}-1$ 的情形将需要更高内存与更高精度以分离根。通过对 FMM 作适配至 256 GB RAM 上限，并采用扩展精度（即 10 字节浮点表示）计算，我们得以在约两周 CPU 时间内算出 $n=2^{30}-1$ 的所有根。由实验分析，推导出了 $p_k(x)$ 实根的显式渐近表达式，以及对于 $p_k(x)$ 的根 $\xi_i^{(k)}$ 的 $\min_{i\ne j}|\xi_i^{(k)}-\xi_j^{(k)}|$ 的显式表达式。该方法被有效应用于由倍增递推定义的一般多项式类。