加速牛顿迭代：黑盒多项式的根与矩阵特征值

我们研究在仅给定黑盒访问权限下，将实根多项式 $p(x)$ 的最大根计算到误差 $\varepsilon$ 内的问题，即对于任意 $x \in {\mathbb R}$，算法可查询 $p(x)$ 值的预言机，但不允许访问 $p(x)$ 的系数。关于此问题的一个民间结论是，利用牛顿迭代可在 $O(n \log (1/\varepsilon ))$ 次多项式查询内计算出多项式的最大根。我们给出了一个简单算法，仅在 $O(\log n \log(1/\varepsilon ))$ 个点查询预言机，其中 $n$ 为多项式的次数。我们的算法基于一种通过利用高阶导数加速牛顿法的全新思路。作为特例，我们考虑在输入描述（即描述矩阵的位数与 $\log(1/\varepsilon )$）的多项式时间内，将 ${\mathbb Q}^{n \times n}$ 中对称矩阵的主特征值计算到误差 $\varepsilon$ 内的问题。诸如幂迭代与 Lanczos 迭代等知名方法会产生关于 $1/\varepsilon$ 的多项式运行时间，而高斯消元法则需要 $\Omega(n^4)$ 次位运算。作为我们主要结果的推论，获得了一种 $\tilde{O}(n^{\omega} \log^2 ( ||A||_F/\varepsilon ))$ 位复杂度的算法，用于计算矩阵 $A$ 的主特征值或检查其是否近似为 PSD（$A \succeq -\varepsilon I$）。