分离混合三角多项式的有界与无界实根

混合三角多项式 (MTP) 是形如 $f(x,\sin{x}, \cos{x})$ 的函数，其中 $f\in\mathbb{Q}[x_1,x_2,x_3]$。本文提供并实现了一种“隔离”MTP 所有实根的算法。该算法自动将实根分为两部分：一部分由区间 $[\mu_-,\mu_+]$ 内有限多个“有界”根组成，另一部分由 $\mathbb{R}\backslash[\mu_-,\mu_+]$ 中可能可数无穷多个“周期”根组成。对于有界根，算法返回隔离区间及其对应重数；对于周期根，算法返回有限多个互不相交的小区间 $I_i\subset[-\pi,\pi]$、整数 $c_i>0$ 以及重数多重集 $\{m_{j,i}\}_{j=1}^{c_i}$，使得任何周期根 $t>\mu_+$ 均属于集合 $(\sqcup_i\cup_{k\in\mathbb{N}}(I_i+2k\pi))$，且任何区间 $I_i+2k\pi\subset(\mu_+,\infty)$ 恰好包含 $c_i$ 个周期根，其重数分别为 $m_{1,i},...,m_{c_i,i}$。实验表明了该算法的有效性与高效性。此外，用于隔离 $[\mu_-,\mu_+]$ 中根的方法同样适用于任何其他有界区间。该算法利用了弱 Fourier 序列技术，并逐周期处理区间而不缩放坐标，从而保持序列长度较短。这些新方法可容易地加以改造，以判定形如 $(-\infty,a)$ 或 $(a,\infty)$（其中 $a\in\mathbb{Q}$）的无界区间内是否存在根或是否存在无穷多个根。