牛顿法遇见笛卡尔法：一种隔离多项式实根的简单快速算法

我们提出了一种名为 DSC2 的新算法，用于隔离具有整数系数的单变量无平方多项式$f$的实根。该算法迭代地细分一个已知包含$f$所有实根的初始区间。我们方法的主要创新在于结合了笛卡尔符号法则与牛顿迭代。更确切地说，在每次迭代中，我们不使用固定的细分策略（如二分法），而是根据实际区间的符号变化数量考虑一个牛顿步，仅当牛顿步失败时，才退回到二分法。遵循这一方法，我们的分析表明，对于大多数迭代，我们可以实现向实根的二次收敛。在复杂度方面，我们的方法诱导了一个大小几乎最优的递归树$O(n\log(n \tau))$，其中$n$表示多项式的次数，$\tau$表示其系数的比特长度。后一界限比所有现有的用于隔离实根任务的细分方法提高了$\tau$倍。此外，我们提供了比特复杂度分析，表明 DSC2 仅需$\tilde{O}(n^3\tau)$次比特操作即可隔离$f$的所有实根。这与该基本问题已知的最佳界限相符。然而，与实现相同比特复杂度但更为复杂的 Pan 和 Sch"onhage 算法（用于隔离所有复根的任务）相比，DSC2 专注于实根隔离，易于访问且易于实现。