参数三次方程实根的隔离区间与改进的完全根分类

实符号首一三次多项式 $p(x) = x^3 + a x^2 + b x + c\,\,$ 实根的隔离区间以多项式系数的简单函数（例如：当 $b$ 为负时的 $-a$、$-a/3$、$-c/b$、$\pm \sqrt{-b}$）以及一些辅助二次方程（其系数亦为三次多项式系数的简单函数）的根来表示。所有可能情况均以清晰且非常详细的图示呈现。对于任何给定的三次方程，极易辨识这些图示中哪一个与之相关，并从中读出方程实根的隔离区间。本文还给出了一种大幅改进的完全根分类，在给出隔离区间的同时指明各个根的符号。该方法不使用数值近似或求根技术。不同于考虑三次方程的判别式，存在单个实根或三个实根的判据被表述为三次多项式系数上的条件，这些条件源于辅助二次方程的根。本文还表明，若三次方程有三个实根，则这些根位于区间 $I$ 中，使得 $\sqrt{3}\sqrt{a^2/3 - b} \le I \le 2 \sqrt{a^2/3 - b}$，且与 $c$ 无关。文中还给出了应用该方法隔离三次方程根的具体算法，并通过实例加以说明，包括与瑞利弹性波相关的三次方程的完整数学分析及其实根隔离区间的求解。