一种基于双曲线的整数分解新方法

由文献中的结果可知，参数为 $n$ 的双曲线代数集 $\mathcal{B}_{n}(X, Y, Z)_{\mid_{x\geq 4n}}= \displaystyle \lbrace \left(X: Y: Z\right)\in \mathbb{P}^{2}(\mathbb{Q}) \ \vert \ \displaystyle Y^{2}=X^{2}-4nXZ \rbrace$（其中 $n$ 为半素数）被证明与 $n$ 的素因子相关。在 $\mathbb{Z}_{\geqslant 4n}\times \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ 上的仿射空间中，该集合恰有 5 个点 $\displaystyle\lbrace P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4} \rbrace$，且满足 $P_{2}+P_{3}=P_{1}+2P_{2}=P_{4}$，获知 $P_{2}$ 或 $P_{3}$ 即可给出 $n$ 的分解。然而，该群结构在有理数与整数上的非循环性，以及其在有限域上的非良好约化，构成了求解的主要困难。本文描述一种求取 $P_{2}$ 与 $P_{3}$ 的方法。我们引入双曲线 X-根与 Y-根的概念，解与 $n$ 的最大公因数可由此揭示 $n$ 的素因子。我们证明 $P_{2}$ 与 $P_{3}$ 可利用双曲线 X-根与 Y-根在一条同构于 Jacobi 四次曲线的奇异 Weierstrass 曲线上找到。我们给出了该方法的数学框架。