${\bf U} = \mathbf{C}^{1/2}$及其关于$\bf C$与其不变量的不变量表示

我们考虑$N= 3,4,5,6$时的$N\times N$张量。在$N=3$的情形下，希望用${\bf C}={\bf U}^2$的三个主不变量$I_1, I_2, I_3$来表示$\bf U$的三个主不变量$i_1, i_2, i_3$。通过对因式分解$$\lambda^2{\bf I}- {\bf C} = (\lambda{\bf I}- {\bf U}) (\lambda{\bf I}+ {\bf U})$$取行列式并比较系数，得到联系$i_\alpha$与$I_\alpha$的方程。消去$i_2$后，我们得到一个系数仅依赖于$I_\alpha$的四次方程，其最大根为$i_1$。类似地，我们可得到一个最大根为$i_2$的四次方程。对于$N=4$，我们发现$i_2$再次是一个四次方程的最大根，从而所有$i_\alpha$均用$I_\alpha$表示。于是$\bf U$和${\bf U}^{-1}$如同$N=3$的情形仅用$\bf C$表示。对于$N= 5$，我们发现（但未给出）一个二十次多项式，其最大根为$i_1$，并有四个伪零点。我们无法将$i_\alpha$用$I_\alpha$表示（$N=5$时）。尽管如此，$\bf U$和${\bf U}^{-1}$仍用$\bf C$的幂表示，其系数此时依赖于$i_\alpha$。对于$N=6$，我们发现（但未给出）一个32次多项式，其最大根为$i_1^2$。其中16个根相关，而其余我们给出的16个为伪根。$\bf U$和${\bf U}^{-1}$用$\bf C$的幂表示。讨论了$N>6$的情形。