关于连续 $q$-超球多项式 $q$-差分方程的因式分解

我们证明，Rogers 的连续 $q$-超球多项式 $C_n(x;\beta| q)$ 的常规二阶 $q$-差分方程的斯特姆-刘维尔形式可以用某个显式定义的 $q$-差分算子 ${\mathcal D}_x^{\beta, q}$ 写成因式分解形式。这揭示了一个事实：连续 $q$-超球多项式 $C_n(x;\beta| q)$ 实际上由 $q$-差分方程 ${\mathcal D}_x^{\beta, q} C_n(x;\beta| q)= (q^{-n/2}+\beta q^{n/2}) C_n(x;\beta| q)$ 所支配，该方程可视为从其原始形式得到的方程的平方根。