交替符号矩阵 Q-计数的一条新行列式

Fischer 给出了涉及三次单位根的交替符号矩阵个数的一种新型二项式行列式。本文证明，将她的公式中的三次单位根替换为不定元 $q$ 后，该式实际上是交替符号矩阵的 $(2+q+q^{-1})$-计数。通过对该行列式的一个推广求值，我们能够重新证明 Mills、Robbins 和 Rumsey 的一个猜想，即 $Q$-计数是 $Q$ 中两个多项式的乘积。此外，我们给出了该广义行列式在 0-、1-、2- 和 3-计数情形下的闭乘积公式，从而得到交替符号矩阵 $1$-、$2$- 和 $3$-计数的一个新证明，以及在 $4$-计数情形下的一个因式分解。最后，我们将广义行列式的 1-计数与 Ciucu、Eisenkölbl、Krattenthaler 和 Zare 的行列式求值相联系，后者计数带三角形孔的六边形的加权循环对称菱形铺砌，是 Andrews 一个著名结果的推广。