特殊有理曲面上的线性系统

我们研究由 $k[x_1,...,x_n]$ 中线性形式的幂生成的理想族 $J_\phi$ 的 Hilbert 级数。利用 Emsalem-Iarrobino 的结果，我们将其表述为关于 $P^{n-1}$ 中重位点的问题。在三个变量情形下，这等价于研究 $P^2$ 的 blow up 上线性系统的维数。所出现的理想对应的点处于非常特殊的位置，但由于仅有七个点，我们可应用 Harbourne 的结果得到负曲线的类。约化到一个有效、nef 除子并利用 Riemann-Roch 给出了 Hilbert 级数的公式。这证明了 Postnikov 和 Shapiro 猜想的 $n=3$ 情形，他们后来证明了所有 $n$ 的情形均成立。Postnikov 和 Shapiro 观察到，对于与 $J_\phi$ 密切相关的一族理想，类似结果似乎常常成立，尽管在 $n=4$ 和 $n=5$ 时存在反例。我们的方法使我们能够证明，对于 $n=3$，一个类似的公式确实成立。我们以对 Postnikov 和 Shapiro 关于这些理想的最小自由分解猜想的一个反例作结。