带边界黎曼曲面上 $L^2$ 全纯一次形式的法贝尔级数

考虑一个带区分点 $z_1,\ldots,z_n$ 的紧曲面 $\mathscr{R}$，以及从单位圆盘到 $\mathscr{R}$ 上互不重叠的拟圆盘且将 $0$ 映到 $z_k$ 的共形映射 $f_k$。令 $\Sigma$ 为从 $\mathscr{R}$ 中移除 $f_k$ 像的闭包所得到的黎曼曲面。我们定义在 $\mathscr{R}$ 上亚纯且仅在 $z_1,\ldots,z_n$ 处有极点的形式，称之为法贝尔-蒂茨形式（Faber-Tietz forms）。这些形式类似于球面上的法贝尔多项式。我们证明 $\Sigma$ 上的任意 $L^2$ 全纯一次形式都可唯一地表示为法贝尔-蒂茨形式的级数。该级数在 $L^2(\Sigma)$ 中收敛，且在 $\Sigma$ 的紧子集上一致收敛。