分次Gorenstein环的F-特征标

对于交换环$R$，Huneke和Leuschke定义了$F$-特征标\cite{H-L}。该不变量衡量$R^{(e)}$的自由直和项秩的阶数。这里，$R^{(e)}$是$R$本身，通过$e$次Frobenius作用$F^e$视为$R$-模。本文展示了分次环的F-特征标与其他不变量之间的联系。更精确地说，对于维数为$d$的分次$F$-有限Gorenstein环$R$，我们给出了$F$-特征标$s(R)$、$a$-不变量$a(R)$和Poincaré多项式$P(R,t)$之间的一个不等式：$$s(R)\le\frac{(-a(R))^d}{2^{d-1}d!}\lim_{t\rightarrow 1}(1-t)^dP(R,t)$$此外，我们证明了$R^{(e)}$对任意$e$只有一个自由直和项，当且仅当$R$是$F$-纯的且$a(R)=0$。这给出了此类环的一个刻画。