Betke–Weil 不等式的极值体与稳定性

设 $K$ 为欧几里得平面中的紧凸域。$K$ 与 $-K$ 的混合面积 $A(K,-K)$ 可由 $1/(6\sqrt{3})L(K)^2$ 从上方界定，其中 $L(K)$ 为 $K$ 的周长。此由 Ulrich Betke 与 Wolfgang Weil 于 1991 年证明。他们还表明若 $K$ 为多边形，则等号成立当且仅当 $K$ 为正三角形。我们证明在所有凸域中，等号仅在此情形成立，正如 Betke 与 Weil 所猜想。这是通过为几何不等式 $6\sqrt{3}A(K,-K)\le L(K)^2$ 建立更强的稳定性结果而实现的。