大维尖峰 Fisher 矩阵的极端特征值及其应用

考虑两个 $p$ 维总体，不一定服从高斯分布，其协方差矩阵分别为 $\Sigma_1$ 和 $\Sigma_2$，令 $S_1$ 和 $S_2$ 分别为来自这些总体的样本协方差矩阵，自由度分别为 $T$ 和 $n$。当 $\Sigma_1$ 与 $\Sigma_2$ 之间的差 $\Delta$ 的秩相对于 $p, T$ 和 $n$ 较小时，Fisher 矩阵 $F=S_2^{-1}S_1$ 被称为尖峰 Fisher 矩阵。当 $p, T$ 和 $n$ 按比例趋于无穷时，我们为 $F$ 的极端特征值建立了相变：当 $\Delta$ 的特征值（尖峰）高于（或低于）临界值时，相应的 Fisher 矩阵极端特征值将收敛到其他特征值的全局极限谱（LSD）支撑之外的某点；否则，它们将收敛到 LSD 的边缘点。此外，我们为这些尖峰 Fisher 矩阵的极端特征值推导了中心极限定理。当且仅当 $\Delta$ 中对应的总体尖峰特征值为单重时，极限分布为高斯分布。数值例子被提供以展示结果的有限样本性能。除了 Fisher 矩阵在高维数据分析中的经典应用外，我们还提出了一种允许噪声具有任意协方差结构的信号检测方法。仿真实验被用来说明该探测器的性能。