非紧流形上Log Sobolev不等式与$W$熵的极值
微分几何
2011-05-10 v1 偏微分方程分析
泛函分析
摘要
设为具有有界几何的完备连通非紧流形。在无穷远附近的条件下，我们证明Log Sobolev泛函(\ref{logfanhan})具有一个在无穷远附近指数衰减的极值函数。我们还证明，如果该条件不满足，极值函数可能不存在。该结果有以下推论：1. 似乎给出了具有有界几何的连通完备流形的第一个例子，其中标准Log Sobolev不等式不存在极值。2. 对Perelman在文献\cite{P:1}第9页3.2注记中假定的关于非紧情形下Perelman 熵极值存在性的公开问题给出了否定回答。3. 有助于在某些情况下证明Ricci流的非紧收缩呼吸子是梯度收缩孤立子。
引用
@article{arxiv.1105.1544,
title = {Extremal of Log Sobolev inequality and $W$ entropy on noncompact manifolds},
author = {Qi S. Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1105.1544},
year = {2011}
}