具有多重交叉测地线带的极值等周长度量

我们应用近期发展的凸规划,在连接对边的曲线具有长度条件的 $2n$ 边多边形($n\geq 3$)上寻找极小面积黎曼度量。我们论证该黎曼极值度量与正 $2n$ 边形上的共形极值度量一致。六边形曾被 Calabi 考虑过。由最大数目 $n$ 条测地线带所覆盖的区域延展至曲面的大部分并呈现正曲率。当 $n\to \infty$ 时,该度量在远离边界处逼近著名的 $\mathbb{RP}_2$ 上的圆极值度量。我们将 Calabi 的等周长变分原理推广到具有多于三条收缩测地线带的区域情形。$\mathbb{RP}_2$ 上的极值度量是此泛函应用于具有无穷多条收缩测地线带的曲面时的驻点。