各向同性紧凑流形上测地线的渐近行为

我们研究测地线在各向同性紧凑黎曼流形边界附近的渐近行为。在截至无穷远处的截面曲率为常数的情形（即渐近双曲面情形）时，已知非捕获测地线可平滑地延拓至 conformal infinity，作为 $\overline{X}$ 中光滑嵌入曲线，且 conformal infinity 可由该类非捕获测地线在给定点处初始方向的局部光滑参数化。我们证明在一般情况下，非捕获测地线通常只能以 $C^{1,\alpha}$ 正则性延拓至 conformal infinity，这是由于由截至无穷远处的截面曲率梯度引起的对数奇点所致。尽管存在这种奇异行为，我们进一步证明，这些测地线的端点对初始条件具有光滑依赖性，从而仍可使用测地线的初始速度对 conformal infinity 进行局部光滑参数化。特别地，conformal infinity 的光滑结构可由 $(X,g)$ 规范确定。我们还展示了如何在 conformal infinity 指定测地线的“初始数据”，并获得渐近展开，以参数化趋向给定边界点的测地线。