收缩极值非正曲面的平坦性与有限奇点性

收缩极值曲面的正则性是 notorious 的难题，M. Gromov 已于 1983 年讨论，他提出利用 P. A. White 等人至 1950 年代发展的 $r$-正则性理论，论证 $L^2$-极值元存在的论点。我们提议在非正曲广义度量背景下研究收缩极值度量的问题。一种自然途径是在有限全曲率的 Alexandrov 曲面类中工作，可借由 Reshetnyak 等人研究的 Radon 测度意义下完备化工具。但此意义下的广义度量仍正则性不足。转而我们发展更具实操性的途径，证明对每个亏格，每个收缩极值非正曲曲面均为分段平坦且具有限个锥奇点。该结果利用了曲面分解为平坦收缩带与非收缩多边形区域，以及 Malestein-Rivin-Theran、Przytycki、Aougab-Biringer-Gaster 与 Greene 关于至多相交一次的曲线数的组合/拓扑估计，并结合风筝切除移动。该移动合并亏格 $g$ 曲面上成对锥奇点，并导出奇点数的渐近上界 $g^{4+\epsilon}$。