布朗多孔介质的极值几何

在 $d$ 维环面 $T^d$ 上运行时间 $t$ 的布朗运动路径 $W[0,t]$ 是 $T^d$ 的一个随机紧子集。我们研究了 $t$ 较大且 $d \ge 3$ 时补集 $T^d \setminus W[0,t]$ 的几何性质。特别是，我们证明了该补集中最大区域的线性尺度为 $\phi = [(d \log t)/(d-2)kt]^{1/(d-2)}$，其中 $k$ 是单位球的容量。更具体地说，我们确定了使得 $T^d \setminus W[0,t]$ 包含 $\phi E$ 的平移的集合 $E$，并统计了此类不相交平移的数量。此外，我们推导了 $t$ 较大时 $T^d \setminus W[0,t]$ 的最大内切球半径以及 $\epsilon$ 较小时 $T^d$ 的 $\epsilon$-覆盖时间的大偏差原理。我们的结果推广了 Dembo、Peres 和 Rosen 证明的大数定律，其基于 $T^d \setminus W_\rho[0,t]$ 中最大容量分量形状的大偏差原理，其中 $W_\rho[0,t]$ 是半径 $\rho = \rho(t)$ 的 Wiener 香肠，$\rho(t)$ 的选择远小于 $\phi$ 但不过小。这种选择背后的思想是，$T^d \setminus W[0,t]$ 由线性尺度为 $\phi$ 量级的“湖泊”组成，并通过狭窄的“通道”相连。我们还推导了 $t$ 较大时主 Dirichlet 特征值和 $T^d \setminus W_\rho[0,t]$ 分量最大体积的大偏差原理。我们的结果完整描绘了 $T^d \setminus W[0,t]$ 的极值几何以及 $W[0,t]$ 实现极值的最优策略。