超幂运算到实数与复数高度的推广

连续超幂函数 ${^x}r=\tau(r,x)$ 是方程 $\tau(r,x)=r^{\tau(r,x-1)}$ 及其微分方程 $\tau'(r,x) =q \tau(r,x) \tau'(r,x-1)$ 的唯一解，其显式表达式为 ${^x}r=\exp_{r}^{\lfloor x \rfloor+1}[\{x\}]_q$，其中 $x$ 称为高度的实数变量，$r$ 称为底的实常数，$\{x\}=x-\lfloor x \rfloor$ 为锯齿函数，$\lfloor x \rfloor$ 为 $x$ 的下取整函数，$[\{x\}]_q=(q^{\{x\}}-1)/(q-1)$ 为 $\{x\}$ 的 q-类比且 $q=\ln r$。尽管 ${^x}r$ 在实数 $r-x$ 平面上每一点都连续，但其到复数高度与底的推广定义域有限。底 $r$ 可推广到复平面当且仅当 $x\in \mathbb{Z}$。另一方面，高度 $x$ 可在 $\Re(x)\notin \mathbb{Z}$ 时推广到复平面。因此 ${^x}r$ 中的 $r$ 与 $x$ 不能同时为复数值。基于 ${^x}r$ 的显式公式导出了超幂运算法则。