求解高维及超高维空间中类 Laplace 方程的一种迭代方法

本文处理高维空间 $\mathbb{R}^m$ 上的方程 $-\Delta u+\mu u=f$，其中右端项 $f(x)=F(Tx)$ 由一个在维度 $n>m$ 的空间上具有可积傅里叶变换的可分离函数 $F$ 与一个由满秩矩阵 $T$ 给出的线性映射复合而成，且 $\mu\geq 0$ 为常数。例如，右端项可以显式依赖于 $x$ 的分量之差 $x_i-x_j$。我们证明该方程的解可以展开为具有相同结构的函数之和，并在此框架下开发了一种同样简单且快速的迭代计算方法。该方法基于如下观察：在几乎所有情况且对于大类问题，表达式 $\|T^ty\|^2$ 在单位球面 $\|y\|=1$ 上与其均值的偏差随维度 $m$ 的增高而减小，这是一种测度集中效应。维度 $m$ 越高，迭代收敛越快。