扩展预着色以区分群作用

给定一个群$\Gamma$作用在集合$X$上，$X$的一个$k$-着色$\phi:X\to\{1,\dots,k\}$关于$\Gamma$是区分的，如果唯一固定$\phi$的$\gamma\in \Gamma$是恒等作用。作用$\Gamma$的区分数，记为$D_{\Gamma}(X)$，是使得存在关于$\Gamma$的区分$k$-着色的最小正整数$k$。这个概念已在许多背景下被研究，但迄今为止大部分工作集中在寻找图$G$的自同构群在其顶点集上的作用的区分数，这被称为图$G$的区分数。群作用的区分数是衡量“打破”该作用产生的所有排列的难易程度。在本文中，我们旨在进一步区分具有相同区分数的群作用的韧性。特别地，我们引入了一个预着色扩展框架来解决这个问题。子集$S \subseteq X$是$\Gamma$的一个固定集，如果对于每个非恒等元素$\gamma \in \Gamma$，存在一个元素$s \in S$使得$\gamma(s) \neq s$。区分扩展数$\operatorname{ext}_D(X,\Gamma;k)$是使得对于所有满足$|W| \geq m$的固定集$W \subseteq X$，每个$k$-着色$c : X \setminus W \to [k]$都可以扩展为一个区分$X$的$k$-着色的最小数目$m$。在本文中，我们证明了$\operatorname{ext}_D(\mathbb{R},\operatorname{Aut}(\mathbb{R}),2) =4$，其中$\operatorname{Aut}(\mathbb{R})$由平移和反射的复合组成。我们还考虑了圆和（有限）圈的区分扩展数，得到了若干精确结果和界。