$\mathbf R^n$ 与 $S^n$ 的区分扩张数

在群 $\Gamma$ 忠实地作用在集合 $X$ 上的设定中，若固定染色 $c$ 的 $\Gamma$ 中元素仅有单位元，则称 $k$-染色 $c: X\rightarrow \{1, 2, ..., k\}$ 为 $\Gamma$-区分的。区分数 $D_\Gamma(X)$ 是使得 $X$ 存在 $\Gamma$-区分 $k$-染色的最小 $k$ 值。现固定 $k= D_\Gamma(X)$，若具有平凡点态稳定子的子集 $W\subset X$ 满足：每个预染色 $c: X-W\rightarrow \{1, ..., k\}$ 均可扩张为 $X$ 的 $\Gamma$-区分 $k$-染色，则称其满足预染色扩张性质 $P(W)$。区分扩张数 $\text{ext}_D(X, \Gamma)$ 定义为满足以下条件的最小 $n$：对所有适用的 $W\subset X$，若 $|W|\geq n$ 则 $P(W)$ 成立。本文计算了两种特定情形下的 $\text{ext}_D(X, \Gamma)$：一是 $X = S^1$ 为单位圆且 $\Gamma = \text{Isom}(S^1) = O(2)$ 为其等距群的情形；二是 $X = V(C_n)$ 为 $n$ 阶圈的顶点集且 $\Gamma = \text{Aut}(C_n) = D_n$ 为正 $n$ 边形的二面体群的情形。这解决了 Ferrara、Gethner、Hartke、Stolee 和 Wenger 提出的两个猜想。在 $X=\mathbf R^2$ 的情形下，我们证明了 $\text{ext}_D(\mathbf R^2, SE(2))<\infty$，这与（但未解决）Ferrara 等人提出的另一个猜想一致。另一方面，我们也证明了对于所有 $n\geq 3$，$\text{ext}_D(S^{n-1}, O(n)) = \infty$，且对于所有 $n\geq 3$，$\text{ext}_D(\mathbf R^n, E(n))=\infty$，从而否定了来自同一作者的另外两个猜想。