爆炸型 Crump-Mode-Jagers 分支过程

本文在无马尔萨斯参数（即过程增长快于指数）的情形下开创 Crump-Mode-Jagers 分支过程（BP）的理论。Crump-Mode-Jagers BP 是一种（连续时间）分支过程，其中允许单个个体的子代出生时间之间存在任意依赖关系。但假设这些繁殖过程对于不同个体是独立同分布的点过程。本文重点确定该分支过程是否爆炸，即过程在有限时间内达到无穷多个个体。我们发展了繁殖过程之间的比较技术。我们研究了关于爆炸性的特例，如年龄相关 BP 和具有传染区间的传染病模型。为此，我们在 BP 中每个个体上叠加一个随机传染区间 [I, C]，仅保留出生时间落在该父代区间内的子代。我们证明传染区间终点 C 的分布对爆炸无影响，而 I 的分布有影响：传染病爆炸当且仅当具有原始出生时间和出生时间 I 的两个年龄相关 BP 均爆炸。最后我们研究了一些病态例子，如出生时间分布关于勒贝格测度奇异却能产生具有任意幂律后代分布的爆炸性 BP。