Crump-Mode-Jagers 过程中涨落的渐近性：格点情形

考虑一个超临界 Crump--Mode--Jagers 过程，其中所有出生均发生在整数时刻（格点情形）。令 $\widehat\mu(z)$ 为后代过程强度的生成函数，并考虑方程 $\widehat\mu(z)=1$ 的复根。此类根中绝对值最小者为 $e^{-\alpha}$，其中 $\alpha>0$ 为马尔萨斯参数；令 $\gamma_*$ 为根的第二小绝对值。在一些技术条件下，我们证明存在三种情形：(i) 若 $\gamma_*>e^{-\alpha/2}$，则年龄分布的二阶涨落渐近正态；(ii) 若 $\gamma_*=e^{-\alpha/2}$，则涨落仍渐近正态，但方差阶数更大；(iii) 若 $\gamma_*<e^{-\alpha/2}$，则涨落更大，但将振荡且（除退化情形外）不在分布上收敛。这种三分法与相关情形中已见到的类似，例如某些其他分支过程以及 Pólya urn。结果导出描述极限的符号演算。结果可推广到由随机特征计数的种群。