具有传染期与潜伏期的年龄依赖分支过程的爆炸性

我们研究了描述流行病传播早期阶段的年龄依赖分支过程的爆炸性：对前向和后向过程均进行了分析。对于经典的年龄依赖分支过程 $(h,G)$，其中后代具有概率母函数 $h$，且所有个体的寿命独立地取自分布 $G$，我们关注设定 $h = h_{\alpha}^L$，其中 $L$ 是在无穷远处缓慢变化的函数且 $\alpha \in (0,1)$。此处，当 $s \to 1$ 时，$h^L_{\alpha}(s) = 1 - (1-s)^{\alpha} L(\frac{1}{1-s})$。对于固定的 $G$，过程 $(h^L_{\alpha},G)$ 要么对所有 $\alpha \in (0,1)$ 均发生爆炸，要么对所有 $\alpha \in (0,1)$ 均不爆炸，与 $L$ 无关。接下来，我们为所有个体添加传染期，并令其后代仅在其寿命小于其母亲的传染期时存活：这是一个前向过程。如上所述，一个爆炸性过程 $(h^L_{\alpha},G)$ 在添加非零传染期时仍保持爆炸性。我们将此设定推广到带有传染期的后向过程。进一步，我们考虑具有潜伏期的过程，在此期间个体已感染该疾病但尚不能传染其熟人。我们令这些潜伏期服从分布 $I$。在前向过程 $(h^L_{\alpha},G,I)_{f}$ 中，每个个体都有一个潜伏期，且只有寿命大于该时期的后代才存活。在后向过程 $(h^L_{\alpha},G,I)_{b}$ 中，个体仅在其寿命超过自身的潜伏期时才存活。我们建立的第三个主要结果的内容是关于这两个过程的：在关于 $G$ 和 $I$ 的一个温和条件下，$(h,G)$ 和 $(h,I)$ 均发生爆炸是过程 $(h^L_{\alpha},G,I)_{f}$ 和 $(h^L_{\alpha},G,I)_{b}$ 发生爆炸的必要与充分条件。