基于埃舍尔变换索引的连续状态分支过程爆炸速度

连续状态分支过程 $Z$ 若在有限时间内以正概率到达 $\infty$，则称为保守性差的过程。众所周知，这发生当且仅当分支机制 $\varphi$ 满足 $\int_{0+}d\lambda/|\varphi(\lambda)|<\infty$。我们在同一概率空间上构造保守性连续状态分支过程族 $Z^{(\varepsilon)}$，$\varepsilon\ge0$，其中每个过程 $Z^{(\varepsilon)}$ 的分支机制为 $\varphi^{(\varepsilon)}(\lambda)=\varphi(\lambda+\varepsilon)-\varphi(\varepsilon)$，且族 $Z^{(\varepsilon)}$，$\varepsilon\ge0$ 在 $\varepsilon\rightarrow0$ 时几乎 surely 收敛于 $Z$。随后我们研究 $Z^{(\varepsilon)}$ 在 $\varepsilon\rightarrow0$ 时的收敛速度，称为爆炸速度。更具体地，我们刻画了满足 $\lim_{\varepsilon\rightarrow0} f(\varepsilon)=\infty$ 的函数 $f$，使得第一到达时间 $\sigma_\varepsilon=\inf\{t:Z^{(\varepsilon)}_t\ge f(\varepsilon)\}$ 收敛于 $Z$ 的爆炸时间。我们获得了关于弱收敛和 $L^1$ 收敛的必要充分条件，然后给出关于几乎 surely 收敛的充分条件。